Integral definida

CÁLCULO DE VOLÚMENES

Dada una función f continua y R el recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones x = a, x = b, y = 0, hacemos girar dicho recinto alrededor del eje OX, engendrando un cuerpo sólido de revolución. Se trata ahora de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso completamente análogo al realizado en la definición de integral definida.

Consideremos una partición cualquiera de

[a,b]: P = {a = x0 < xn =" b}">

y sea V(f;a,b) el volumen del sólido de revolución.

Tal como se observa en la figura el volumen V(f;a,b) del cuerpo de revolución está comprendido entre la suma de los volúmenes de los cilindros interiores y la suma de los volúmenes de los cilindros exteriores. Si el número de puntos de la partición aumenta, las sumas inferiores y superiores tienden a la integral definida de la función Πf2 en el intervalo [a,b].

Parece, pues, natural asignar al volumen del sólido de revolución la integral definida

∫π[f(x)]^2dx, (evaluada de a hasta b)

Podemos hacer esta integral porque al ser f continua, también lo es Π(fx)^2. Nota: Si consideramos dos funciones f y g tales que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 en [a,b], el volumen del sólido de revolución que generan al girar alrededor del eje OX es:

V(f;a,b) = ∫ π[f(x)]^2dx - ∫π[g(x)]^2dx

Si la región R determinada por dos funciones no cumple las condiciones del enunciado siempre se podrán elegir intervalos en que sí se verifiquen; hecho esto, se calcularían por separado los volúmenes y se sumarían.

Actividad

Encuentre el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región encerrada por y = x^2 con y = 2x –x^2. Haga una gráfica de la región, del disco ó arandela.

Responda:
1. ¿Que representan geométricamente cada una de las funciones?
2. ¿Cuáles son los vértices de dichas figuras?
3. ¿Cuáles son los puntos de intersección de las funciones?
4. ¿Cuáles son los límites inferiores y superiores de la integral a plantear?
5. ¿Cuál es el valor del volumen del solido?