Integrales Indefinidas

Centroide de un sólido de Revolución

Para encontrar el centro de masa de un sólido, en general podemos utilizar las integrales. Aquí se explicará como hallar en centro de masa de un sólido de revolución homogéneo con la suposición de que dicho centro de masa esta sobre el eje de rotación.

La región R esta limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b, donde la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y f(x)≥ 0 para toda x en [a,b].

El número en kilogramos-metros del momento de masa de S con respecto al plano yz se representa por Myz.
Myz.= ∏∫x[f(x)]2dx (evaluada desde a hasta b)
X = Myz
V
Y recordemos que el volumen

V = ∏∫[f(x)]2dx (evaluada desde a hasta b)

Ejemplo:

Hallar el Centroide de un sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje X, la región limitada por la curva y = x´2, el eje x y la recta X=3.

Calculando el momento de masa de S con respecto al plano yz :

Myz.= ∏∫x[X2]2dx (evaluada desde 0 hasta 3)
Myz.= ∏∫x5dx (evaluada desde 0 hasta 3)
Myz.= (243/2)∏

Calculando el Volumen

V = .= ∏∫[x2]2dx (evaluada desde 0 hasta 3)
V = .= ∏∫x4dx (evaluada desde 0 hasta 3)
V = (243/5)∏

Entonces el centroide es:
X = (243/2)∏/ (243/5)∏
X= 5/2
Por lo tanto el Centroide ubicado en el punto (5/2,0,0)

Presión de un líquido

Otra aplicación de la integral definida (en física) consiste en calcular las fuerzas que se originan por la presión de un líquido sobre una placa sumergida en él, o sobre un lado del recipiente que lo contiene. Primeramente supongamos de una placa plana se introduce horizontalmente en un liquido que se encuentra en un recipiente. El peso del líquido origina una fuerza sobre la placa, la fuerza por unidad de área cuadrada, ejercida por el líquido sobre la placa se conoce como presión del líquido.

De aquí que: P = ґh, donde P es la presión, ґ el peso especifico (ґ= pg = 62,5lb/pie2) y h la profundidad a la cual se encuentra sumergida la placa.
Como P es una fuerza y relacionándolo con el concepto de fuerza que ya conocemos tenemos que; F = ґhA.

Realizando una conversión podemos concluir que :
F = ∫ ґxf(x)dx ( evaluada desde a hasta b)
Donde ґ es el peso especifico, La profundidad viene dada en x unidades, f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] .

Ejemplo:
Una pila que tiene una sección transversal en forma de trapecio está llena de agua. Si el trapecio tiene 3 pies de ancho en su parte superior, 2 pies de ancho en el fondo y 2 pies de profundidad, hallar la fuerza total debido a la presión del líquido en el extremo de la pila.

La figura muestra un extremo de la pila junto con un elemento rectangular de área. Una ecuación de la recta AB de los puntos (2,1) a (0, 3/2). Y una ecuación de esa recta es Y= 3/2 – X/4. Sea f(x) = 3/2 – X/4 si hacemos girar un ángulo de 90⁰ al elemento rectangular la fuerza sobre dicho elemento estará dada por 2ґξ1f(ξ1) ∆1x lb. Si F es el número de lb de la fuerza total sobre un lado de la pila,

F = 2 ґ∫ x f(x)dx (evaluada desde a hasta b)
F = 2 ґ∫ x (3/2 – X/4)dx (evaluada desde 0 hasta 2)
F = 2 ґ(3x2/4 – x3/12) (evaluada desde 0 hasta 2)
F = 14/3ґ
Tomando a ґ=62,5lb/pie2, tenemos que la fuerza total es de 291,2lb