Cálculo de Centroide de una Region Plana

Actividad

1.- Calcularel centroide de la region limitada por las fronteras; Y= X^2 - 4X; el eje de las X y lasrectasX=1 X=3.

2.- Calcular el Volumen dol sólido generado por la rotaciòn al reddor de la recta X= -4 de la region limitada por dicha recta y la parábola X = 4 + 6Y-2Y^2

Escriba los valores de dichas preguntas

Integral definida

CÁLCULO DE VOLÚMENES

Dada una función f continua y R el recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones x = a, x = b, y = 0, hacemos girar dicho recinto alrededor del eje OX, engendrando un cuerpo sólido de revolución. Se trata ahora de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso completamente análogo al realizado en la definición de integral definida.

Consideremos una partición cualquiera de

[a,b]: P = {a = x0 < xn =" b}">

y sea V(f;a,b) el volumen del sólido de revolución.

Tal como se observa en la figura el volumen V(f;a,b) del cuerpo de revolución está comprendido entre la suma de los volúmenes de los cilindros interiores y la suma de los volúmenes de los cilindros exteriores. Si el número de puntos de la partición aumenta, las sumas inferiores y superiores tienden a la integral definida de la función Πf2 en el intervalo [a,b].

Parece, pues, natural asignar al volumen del sólido de revolución la integral definida

∫π[f(x)]^2dx, (evaluada de a hasta b)

Podemos hacer esta integral porque al ser f continua, también lo es Π(fx)^2. Nota: Si consideramos dos funciones f y g tales que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 en [a,b], el volumen del sólido de revolución que generan al girar alrededor del eje OX es:

V(f;a,b) = ∫ π[f(x)]^2dx - ∫π[g(x)]^2dx

Si la región R determinada por dos funciones no cumple las condiciones del enunciado siempre se podrán elegir intervalos en que sí se verifiquen; hecho esto, se calcularían por separado los volúmenes y se sumarían.

Actividad

Encuentre el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región encerrada por y = x^2 con y = 2x –x^2. Haga una gráfica de la región, del disco ó arandela.

Responda:
1. ¿Que representan geométricamente cada una de las funciones?
2. ¿Cuáles son los vértices de dichas figuras?
3. ¿Cuáles son los puntos de intersección de las funciones?
4. ¿Cuáles son los límites inferiores y superiores de la integral a plantear?
5. ¿Cuál es el valor del volumen del solido?

Aplicaciones al cálculo de mediante la Integral Definida

Áreas de recintos planos

Teniendo en cuenta lo explicado por la docente en clases, podemos concluir que, para calcular el área de una región encerrada en dos curvas lo podemos realizar mediante la siguiente fórmula:

Ejemplo 2.

Calcula el área del recinto determinado por la parábola y=x-x^2 y el eje OX.

Solución Analítica

∫ (x-x^2)dx = ( evaluada de 0 a 1)
(x^2/2 – x^3/3) = ½ - 1/3 = 1/6

Solución geométrica







Actividad.
Calcular el área de la región limitada por y^2 = 2X – 2 y la recta y = X – 5.
Y responda las siguientes interrogantes:
1. En función de cual variable es mejor plantear el cálculo del el área?
2. Cuáles son los limites inferior y superior de la integral?
3. Cuál es el valor total de la región o área?

Las funciones hiperbólicas.
Definición.- Llamaremos función coseno hiperbólico y función seno hiperbólico a las aplicaciones de IR en sí mismo, que representaremos por cosh x y senh x respectivamente, definidas por las siguientes expresiones

A partir del seno y coseno hiperbólicos se pueden definir el resto de las funciones hiperbólicas: tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas, como




A partir de las definiciones se deducen las siguientes igualdades
• cosh (-x)= cosh x;
senh (-x)= -senh x;
th(-x)=-th x.
• cosh2 x-senh2 x=1;
1-th2 x=1/cosh2 x;
• cosh (x+y)=cosh x chos y+ senh x senh y;
cosh 2x= cosh2 x +senh2 x;
• cosh (x-y)=cosh x chos y- senh x senh y;
• senh (x+y)=senh x chos y+cosh x senh y;
senh 2x=2 senh x cosh x;
• senh (x-y)=senh x chos y- cosh x senh y;
• th (x+y)= (th x+ th y)/(1+th x thy);
• th(x-y)=(th x-th y)/(1- th x th y);

De allí podemos realizar una relación con las integrales, y resolverlas usando los mismos métodos ya enseñados por el docente anteriormente. Observemos la siguiente tabla que contiene alguna de as fórmulas:
La siguiente es una lista de integrales de funciones hiperbólicas.






Actividad:
Resolver la siguiente integral ∫SenhX. CoshXdx
y responda:
1. 1.- Qué caso es?
2. Cuál identidad trigonométrica es la mas ideal para utilizar?
3. Cual es su solución?