Centroide de un sólido de Revolución

Para encontrar el centro de masa de un sólido, en general podemos utilizar las integrales. Aquí se explicará como hallar en centro de masa de un sólido de revolución homogéneo con la suposición de que dicho centro de masa esta sobre el eje de rotación.

La región R esta limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b, donde la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y f(x)≥ 0 para toda x en [a,b].

El número en kilogramos-metros del momento de masa de S con respecto al plano yz se representa por Myz.
Myz.= ∏∫x[f(x)]2dx (evaluada desde a hasta b)
X = Myz
V
Y recordemos que el volumen

V = ∏∫[f(x)]2dx (evaluada desde a hasta b)

Ejemplo:

Hallar el Centroide de un sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje X, la región limitada por la curva y = x´2, el eje x y la recta X=3.

Calculando el momento de masa de S con respecto al plano yz :

Myz.= ∏∫x[X2]2dx (evaluada desde 0 hasta 3)
Myz.= ∏∫x5dx (evaluada desde 0 hasta 3)
Myz.= (243/2)∏

Calculando el Volumen

V = .= ∏∫[x2]2dx (evaluada desde 0 hasta 3)
V = .= ∏∫x4dx (evaluada desde 0 hasta 3)
V = (243/5)∏

Entonces el centroide es:
X = (243/2)∏/ (243/5)∏
X= 5/2
Por lo tanto el Centroide ubicado en el punto (5/2,0,0)

Presión de un líquido

Otra aplicación de la integral definida (en física) consiste en calcular las fuerzas que se originan por la presión de un líquido sobre una placa sumergida en él, o sobre un lado del recipiente que lo contiene. Primeramente supongamos de una placa plana se introduce horizontalmente en un liquido que se encuentra en un recipiente. El peso del líquido origina una fuerza sobre la placa, la fuerza por unidad de área cuadrada, ejercida por el líquido sobre la placa se conoce como presión del líquido.

De aquí que: P = ґh, donde P es la presión, ґ el peso especifico (ґ= pg = 62,5lb/pie2) y h la profundidad a la cual se encuentra sumergida la placa.
Como P es una fuerza y relacionándolo con el concepto de fuerza que ya conocemos tenemos que; F = ґhA.

Realizando una conversión podemos concluir que :
F = ∫ ґxf(x)dx ( evaluada desde a hasta b)
Donde ґ es el peso especifico, La profundidad viene dada en x unidades, f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] .

Ejemplo:
Una pila que tiene una sección transversal en forma de trapecio está llena de agua. Si el trapecio tiene 3 pies de ancho en su parte superior, 2 pies de ancho en el fondo y 2 pies de profundidad, hallar la fuerza total debido a la presión del líquido en el extremo de la pila.

La figura muestra un extremo de la pila junto con un elemento rectangular de área. Una ecuación de la recta AB de los puntos (2,1) a (0, 3/2). Y una ecuación de esa recta es Y= 3/2 – X/4. Sea f(x) = 3/2 – X/4 si hacemos girar un ángulo de 90⁰ al elemento rectangular la fuerza sobre dicho elemento estará dada por 2ґξ1f(ξ1) ∆1x lb. Si F es el número de lb de la fuerza total sobre un lado de la pila,

F = 2 ґ∫ x f(x)dx (evaluada desde a hasta b)
F = 2 ґ∫ x (3/2 – X/4)dx (evaluada desde 0 hasta 2)
F = 2 ґ(3x2/4 – x3/12) (evaluada desde 0 hasta 2)
F = 14/3ґ
Tomando a ґ=62,5lb/pie2, tenemos que la fuerza total es de 291,2lb

Cálculo de Centroide de una Region Plana

Actividad

1.- Calcularel centroide de la region limitada por las fronteras; Y= X^2 - 4X; el eje de las X y lasrectasX=1 X=3.

2.- Calcular el Volumen dol sólido generado por la rotaciòn al reddor de la recta X= -4 de la region limitada por dicha recta y la parábola X = 4 + 6Y-2Y^2

Escriba los valores de dichas preguntas

Integral definida

CÁLCULO DE VOLÚMENES

Dada una función f continua y R el recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones x = a, x = b, y = 0, hacemos girar dicho recinto alrededor del eje OX, engendrando un cuerpo sólido de revolución. Se trata ahora de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso completamente análogo al realizado en la definición de integral definida.

Consideremos una partición cualquiera de

[a,b]: P = {a = x0 < xn =" b}">

y sea V(f;a,b) el volumen del sólido de revolución.

Tal como se observa en la figura el volumen V(f;a,b) del cuerpo de revolución está comprendido entre la suma de los volúmenes de los cilindros interiores y la suma de los volúmenes de los cilindros exteriores. Si el número de puntos de la partición aumenta, las sumas inferiores y superiores tienden a la integral definida de la función Πf2 en el intervalo [a,b].

Parece, pues, natural asignar al volumen del sólido de revolución la integral definida

∫π[f(x)]^2dx, (evaluada de a hasta b)

Podemos hacer esta integral porque al ser f continua, también lo es Π(fx)^2. Nota: Si consideramos dos funciones f y g tales que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 en [a,b], el volumen del sólido de revolución que generan al girar alrededor del eje OX es:

V(f;a,b) = ∫ π[f(x)]^2dx - ∫π[g(x)]^2dx

Si la región R determinada por dos funciones no cumple las condiciones del enunciado siempre se podrán elegir intervalos en que sí se verifiquen; hecho esto, se calcularían por separado los volúmenes y se sumarían.

Actividad

Encuentre el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región encerrada por y = x^2 con y = 2x –x^2. Haga una gráfica de la región, del disco ó arandela.

Responda:
1. ¿Que representan geométricamente cada una de las funciones?
2. ¿Cuáles son los vértices de dichas figuras?
3. ¿Cuáles son los puntos de intersección de las funciones?
4. ¿Cuáles son los límites inferiores y superiores de la integral a plantear?
5. ¿Cuál es el valor del volumen del solido?

Aplicaciones al cálculo de mediante la Integral Definida

Áreas de recintos planos

Teniendo en cuenta lo explicado por la docente en clases, podemos concluir que, para calcular el área de una región encerrada en dos curvas lo podemos realizar mediante la siguiente fórmula:

Ejemplo 2.

Calcula el área del recinto determinado por la parábola y=x-x^2 y el eje OX.

Solución Analítica

∫ (x-x^2)dx = ( evaluada de 0 a 1)
(x^2/2 – x^3/3) = ½ - 1/3 = 1/6

Solución geométrica







Actividad.
Calcular el área de la región limitada por y^2 = 2X – 2 y la recta y = X – 5.
Y responda las siguientes interrogantes:
1. En función de cual variable es mejor plantear el cálculo del el área?
2. Cuáles son los limites inferior y superior de la integral?
3. Cuál es el valor total de la región o área?

Las funciones hiperbólicas.
Definición.- Llamaremos función coseno hiperbólico y función seno hiperbólico a las aplicaciones de IR en sí mismo, que representaremos por cosh x y senh x respectivamente, definidas por las siguientes expresiones

A partir del seno y coseno hiperbólicos se pueden definir el resto de las funciones hiperbólicas: tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas, como




A partir de las definiciones se deducen las siguientes igualdades
• cosh (-x)= cosh x;
senh (-x)= -senh x;
th(-x)=-th x.
• cosh2 x-senh2 x=1;
1-th2 x=1/cosh2 x;
• cosh (x+y)=cosh x chos y+ senh x senh y;
cosh 2x= cosh2 x +senh2 x;
• cosh (x-y)=cosh x chos y- senh x senh y;
• senh (x+y)=senh x chos y+cosh x senh y;
senh 2x=2 senh x cosh x;
• senh (x-y)=senh x chos y- cosh x senh y;
• th (x+y)= (th x+ th y)/(1+th x thy);
• th(x-y)=(th x-th y)/(1- th x th y);

De allí podemos realizar una relación con las integrales, y resolverlas usando los mismos métodos ya enseñados por el docente anteriormente. Observemos la siguiente tabla que contiene alguna de as fórmulas:
La siguiente es una lista de integrales de funciones hiperbólicas.






Actividad:
Resolver la siguiente integral ∫SenhX. CoshXdx
y responda:
1. 1.- Qué caso es?
2. Cuál identidad trigonométrica es la mas ideal para utilizar?
3. Cual es su solución?

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Por la propia naturaleza de las aplicaciones o simplemente de los ejercicios o problemas de práctica, surgen integrales que no pueden ser resueltas directamente por los teoremas básicos de antiderivadas, así que se requerirán metodologías que permiten resolver este tipo de integrales. Dentro de estas metodologías comúnmente denominadas “técnicas de integración” o “métodos de integración” se tienen los casos:

1. Integración por partes.
2. Integración por sustitución de variable trigonométrica.
3. Integrales trigonométricas.

En esta parte estudiaremos las integrales trigonométricas del Seno y Coseno.

Potencias Pares de sen x o cos x.

Las identidades a utilizar en este caso son, el seno y coseno del ángulo mitad, y son las presentadas en el siguiente cuadro.

Potencias Impares del sen x y cos x

Estan relacionadas mediante la fórmula:

Realizando estos cambios, y armando nuevamente la integral obtendremos una nueva integral, que podremos resolver con otros metodos ya vistos (inmediatas, sustitución, por partes)

Actividad

Hallar la integral indefinida de la siguiente funcion:

(Senx)^4, y responda las siguientes preguntas:

1. Qué caso es?


2. Cuál identidad trigonométrica es la mas ideal para utilizar?


3. Cual es su solución?