EJERCICIO RECUPERATIVO

Determinar las integrales paciales por definicion y comprobar por formulas de:




MAXIMA HORA DE ENTREGA DE LA SOLUCION ES A LAS 9:00PM DEL DIA SABADO 09 DE JULIO DEL 2011. PUEDE ESCANEAR LAS SOLUCION Y MANDARLA AL CORREO anamariagg18@hotmail.com

Funciones De Varias Variables

1.- Calcular la diferencial total de las siguientes funciones:
W = 4x^3 – xy^2 + 3y – 7
G = y tan(x^2) – 2xy

2.- Utilice la diferencial total para calcular aproximadamente el mayor error al determinar el área de un triangulo rectángulo a partir de las longitudes de los catetos si ellos miden 6cm y 8cm, respectivamente, con un error posible de 0,1 cm para cada medición.

3.- Sean y= 2wz + z^2, w= e^x, z= Cos(x). Calcular la derivada total de “y” aplicando la regla de la cadena.

CALCULO DE CENTROIDES EN COORENADAS POLARES
Para la sección I002

Calcular el área de la región limitada por la función ρ =4(Senθ)^2 en el primer cuadrante.

Valor 8ptos

Para la sección I004

Calcular el área de la región limitada por la función ρ^3 = a^2(1 + senθ) en el segundo cuadrante.

Valor 8ptos

Nota: El simbolo(^) significa que es una potencia o en tal caso "elevado a la..."

La solución a dicho ejercicio será recibida a la 1:00pm, en el aula, y resolverán 2 (DOS) preguntas mas para completar los 20 ptos del parcial, NO ME PUEDEN LLAMAR POR TELÈFONO.

Suerte....

ACIDTIVAD RECUPERATIVA

La siguiente actividad tendrá un valor de 10 ptos y será sustituida por la segunda pregunta del parcial. Tendrás hastamañana 19/04/2011 a las 12m para enviar la solución del mismo al siguiente correo: anamariagg18@hotmail.com. NOTA: NO REVISARÉ correos enviados después de esta hora

Actividad:

Determinar el volumen del solido engendrado por Y=+√X, al girarlo alrededor del eje Y entre Y=0 y Y=2. Realizar la grafica correspondiente.

FUNCION DE VARIAS VARIABLES
Definición:
Función de dos variables

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cadapareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.
Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)
Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.
La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.


Actividad
1.- Determinar el dominio de las siguientes funciones
a. F(x,y) = Ln (x + y)
b. F(x,y) = (√(4x`2 * y`2 – 4)) /x
2.- Determinar la función Compuesta H(x,y) si H(x,y) = f○g. f(x) = Lnx, g(x,y)=3Sen(x/y) .
3.- Determinar si la siguiente función es continua. Sea f : IR2 − IR definida por:
f(x, y) = (x`2 – y`2)/(e`(x+y) – 1) si x ˃ -y; y f(x,y) = 2x si x ≤-y

Centroide de un sólido de Revolución

Para encontrar el centro de masa de un sólido, en general podemos utilizar las integrales. Aquí se explicará como hallar en centro de masa de un sólido de revolución homogéneo con la suposición de que dicho centro de masa esta sobre el eje de rotación.

La región R esta limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b, donde la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y f(x)≥ 0 para toda x en [a,b].

El número en kilogramos-metros del momento de masa de S con respecto al plano yz se representa por Myz.
Myz.= ∏∫x[f(x)]2dx (evaluada desde a hasta b)
X = Myz
V
Y recordemos que el volumen

V = ∏∫[f(x)]2dx (evaluada desde a hasta b)

Ejemplo:

Hallar el Centroide de un sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje X, la región limitada por la curva y = x´2, el eje x y la recta X=3.

Calculando el momento de masa de S con respecto al plano yz :

Myz.= ∏∫x[X2]2dx (evaluada desde 0 hasta 3)
Myz.= ∏∫x5dx (evaluada desde 0 hasta 3)
Myz.= (243/2)∏

Calculando el Volumen

V = .= ∏∫[x2]2dx (evaluada desde 0 hasta 3)
V = .= ∏∫x4dx (evaluada desde 0 hasta 3)
V = (243/5)∏

Entonces el centroide es:
X = (243/2)∏/ (243/5)∏
X= 5/2
Por lo tanto el Centroide ubicado en el punto (5/2,0,0)

Presión de un líquido

Otra aplicación de la integral definida (en física) consiste en calcular las fuerzas que se originan por la presión de un líquido sobre una placa sumergida en él, o sobre un lado del recipiente que lo contiene. Primeramente supongamos de una placa plana se introduce horizontalmente en un liquido que se encuentra en un recipiente. El peso del líquido origina una fuerza sobre la placa, la fuerza por unidad de área cuadrada, ejercida por el líquido sobre la placa se conoce como presión del líquido.

De aquí que: P = ґh, donde P es la presión, ґ el peso especifico (ґ= pg = 62,5lb/pie2) y h la profundidad a la cual se encuentra sumergida la placa.
Como P es una fuerza y relacionándolo con el concepto de fuerza que ya conocemos tenemos que; F = ґhA.

Realizando una conversión podemos concluir que :
F = ∫ ґxf(x)dx ( evaluada desde a hasta b)
Donde ґ es el peso especifico, La profundidad viene dada en x unidades, f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] .

Ejemplo:
Una pila que tiene una sección transversal en forma de trapecio está llena de agua. Si el trapecio tiene 3 pies de ancho en su parte superior, 2 pies de ancho en el fondo y 2 pies de profundidad, hallar la fuerza total debido a la presión del líquido en el extremo de la pila.

La figura muestra un extremo de la pila junto con un elemento rectangular de área. Una ecuación de la recta AB de los puntos (2,1) a (0, 3/2). Y una ecuación de esa recta es Y= 3/2 – X/4. Sea f(x) = 3/2 – X/4 si hacemos girar un ángulo de 90⁰ al elemento rectangular la fuerza sobre dicho elemento estará dada por 2ґξ1f(ξ1) ∆1x lb. Si F es el número de lb de la fuerza total sobre un lado de la pila,

F = 2 ґ∫ x f(x)dx (evaluada desde a hasta b)
F = 2 ґ∫ x (3/2 – X/4)dx (evaluada desde 0 hasta 2)
F = 2 ґ(3x2/4 – x3/12) (evaluada desde 0 hasta 2)
F = 14/3ґ
Tomando a ґ=62,5lb/pie2, tenemos que la fuerza total es de 291,2lb

Cálculo de Centroide de una Region Plana

Actividad

1.- Calcularel centroide de la region limitada por las fronteras; Y= X^2 - 4X; el eje de las X y lasrectasX=1 X=3.

2.- Calcular el Volumen dol sólido generado por la rotaciòn al reddor de la recta X= -4 de la region limitada por dicha recta y la parábola X = 4 + 6Y-2Y^2

Escriba los valores de dichas preguntas